近年来，代数几何的一些重要理论开始在组合数学、应用数学、人工智能、信息安全等领域得到应用，建立了图上的代数曲线理论，组合数学与博弈论中的霍奇理论，代数几何编码理论。实际上，在十九世纪时，庞加莱、潘勒维、达布就建议过用代数几何研究两个变量的一阶常微分方程，进而解决应用数学中的问题，提出了著名的代数可积性问题：给出一阶常微分方程是代数可积的判别方法。希尔伯特的第十六问题也是希望用代数几何研究一阶常微分方程的极限环问题。

本演讲将以庞加莱的代数可积性问题为背景，介绍如何从代数几何到微分方程，如何定义一阶常微分方程的斜率，如何利用代数几何著名的肖刚斜率不等式，解决斜率小于4的一阶常微分方程的代数可积性问题，并说明斜率至少为4的一阶常微分方程的代数可积性为什么难以判断。